Cómo calcular con la serie de Taylor

Una serie de Taylor es un método numérico para representar una función dada. Este método tiene aplicación en muchos campos de la ingeniería. En algunos casos, como la transferencia de calor, el análisis diferencial da como resultado una ecuación que se ajusta a la forma de una serie de Taylor. Una serie de Taylor también puede representar una integral si la integral de esa función no existe analíticamente. Estas representaciones no son valores exactos, pero calcular más términos en la serie hará que la aproximación sea más precisa.

    Elija un centro para la serie de Taylor. Este número es arbitrario, pero es una buena idea elegir un centro donde haya simetría en la función o donde el valor del centro simplifique las matemáticas del problema. Si está calculando la representación de la serie de Taylor de f(x) = sin(x), un buen centro para usar es a = 0.

    Determine el número de términos que desea calcular. Cuantos más términos uses, más precisa será tu representación, pero dado que una serie de Taylor es una serie infinita, es imposible incluir todos los términos posibles. El ejemplo de sin(x) usará seis términos.

    Calcula las derivadas que necesitarás para la serie. Para este ejemplo, debes calcular todas las derivadas hasta la sexta derivada. Dado que la serie de Taylor comienza en «n = 0», debe incluir la derivada «0th», que es solo la función original. 0ª derivada = sin(x) 1ª = cos(x) 2ª = -sin(x) 3ª = -cos(x) 4ª = sin(x) 5ª = cos(x) 6ª = -sin(x)

    Calcula el valor de cada derivada en el centro que elegiste. Estos valores serán los numeradores de los primeros seis términos de la serie de Taylor. sin(0) = 0 cos(0) = 1 -sin(0) = 0 -cos(0) = -1 sin(0) = 0 cos(0) = 1 -sin(0) = 0

    Utilice los cálculos derivados y el centro para determinar los términos de la serie de Taylor. 1er término; n = 0; (0/0!)(x – 0)^0 = 0/1 segundo término; n = 1; (1/1!)(x – 0)^1 = x/1! 3er término; n = 2; (0/2!)(x – 0)^2 = 0/2! 4to término; n = 3; (-1/3!)(x – 0)^3 = -x^3/3! 5to término; n = 4; (0/4!)(x – 0)^4 = 0/4! 6to término; n = 5; (1/5!)(x – 0)^5 = x^5/5! Serie de Taylor para sin(x): sin(x) = 0 + x/1! + 0 – (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! + …

    Serie de senos derivada de la serie de Taylor

    Elimina los términos cero en la serie y simplifica la expresión algebraicamente para determinar la representación simplificada de la función. Esta será una serie completamente diferente, por lo que los valores de «n» utilizados anteriormente ya no se aplican. sen(x) = 0 + x/1! + 0 – (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! + … sin(x) = x/1! – (x^3)/3! +(x^5)/5! – … Como los signos alternan entre positivo y negativo, la primera componente de la ecuación simplificada debe ser (-1)^n, ya que no hay números pares en la serie. El término (-1)^n da como resultado un signo negativo cuando n es impar y un signo positivo cuando n es par. La representación en serie de los números impares es (2n + 1). Cuando n = 0, este término es igual a 1; cuando n = 1, este término es igual a 3 y así hasta el infinito. En este ejemplo, use esta representación para los exponentes de x y los factoriales en el denominador

    Usa la representación de la función en lugar de la función original. Para ecuaciones más avanzadas y más difíciles, una serie de Taylor puede hacer que una ecuación irresoluble sea resoluble, o al menos dar una solución numérica razonable.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.